کن یو هلپ می؟؟

برای حل این معادله‌ی مثلثاتی، ابتدا باید روابط مثلثاتی را ساده کرده و از هم‌ارزی‌ها استفاده کنیم. معادله داده شده به صورت زیر است: $$\frac{{\sin }^2\alpha -{\tan }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha -{\cot }^2\alpha }={\tan }^3\alpha$$ ### مرحله ۱: استفاده از روابط مثلثاتی ابتدا روابط مثلثاتی زیر را به خاطر داشته باشیم: $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$ و $$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$$ ### مرحله ۲: جایگذاری و ساده‌سازی ابتدا بر حسب سینوس و کسینوس معادله را بازنویسی می‌کنیم: $${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$$ $${\cot }^2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$$ بنابراین: صورت کسر به این شکل در می‌آید: $${\sin }^2\alpha -\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^4\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$$ مخرج کسر به این شکل در می‌آید: $${\cos }^2\alpha -\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\cos }^4\alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$$ ### مرحله ۳: تشکیل کسر نهایی و ساده‌سازی حال، کل کسر به شکل زیر خواهد بود: $$\frac{\frac{{\sin }^4\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{{\cos }^4\alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }}$$ با ضرب مقسومٌ‌علیه در وارونِ مقسوم (ضرب در معکوس)، خواهیم داشت: $$\frac{({\sin }^4\alpha -{\sin }^2\alpha )\times {\sin }^2\alpha }{({\cos }^4\alpha -{\cos }^2\alpha )\times {\cos }^2\alpha }={\tan }^3\alpha$$ با ساده‌سازی بیشتر، نتیجه می‌گیریم که هم دو طرف کسر برابر می‌شود: بنابراین این معادله ثابت است که $\tan \alpha$ حقیقی است.